Kurt Gödel

Kurt Gödel est un logicien et mathématicien autrichien naturalisé américain, né le 28 avril 1906 à Brünn (Autriche-Hongrie) et mort le 14 janvier 1978 à Princeton (États-Unis).

Son résultat le plus connu, le théorème d'incomplétude de Gödel, affirme que n'importe quel système logique suffisamment puissant pour décrire l'arithmétique des entiers admet des propositions sur les nombres entiers ne pouvant être ni infirmées ni confirmées à partir des axiomes de la théorie. Ces propositions sont qualifiées d'indécidables.

Gödel a également démontré la complétude du calcul des prédicats du premier ordre. Il a aussi démontré la cohérence relative de l'hypothèse du continu, montrant qu'elle ne peut pas être réfutée à partir des axiomes admis de la théorie des ensembles, en admettant que ces axiomes soient cohérents. Il est aussi à l'origine de la théorie des fonctions récursives.

Il publie ses résultats les plus importants en 1931 à l'âge de 25 ans, alors qu'il travaille encore pour l'université de Vienne (Autriche). Devenu privat-docent dans cette institution, il en est chassé après l'Anschluss. Il émigre avec sa femme pendant la Seconde Guerre mondiale aux États-Unis. Atteint de troubles mentaux depuis plusieurs années, il parvient néanmoins à être naturalisé grâce au soutien de ses amis Oskar Morgenstern et Albert Einstein, et intègre de façon permanente l'université de Princeton après la guerre. Toutefois, ses troubles se transforment en délire de persécution au milieu des années 1970 et accélèrent sa fin.

Biographie

Enfance

Kurt Gödel est le fils cadet de Rudolf Gödel, directeur et copropriétaire d'une grande entreprise textile de Brno, dans l'actuelle Tchéquie, et de Marianne Handschuh. Rudolf Gödel a deux fils : l'aîné, également prénommé Rudolf, et Kurt. Ni l'un ni l'autre ne suivent ses pas sur le chemin de l'industrie ou du commerce. Rudolf fils devient un médecin de renom à Vienne où il dirigera une clinique réputée.

Au sein de cette famille germanophone, le petit Kurt pose des questions avec tant d'insistance sur tout ce qu'il voit, qu'il est surnommé Herr Warum (Monsieur Pourquoi). À l'âge de six ans, il est frappé par une crise de fièvre rhumatismale, qui le cloue au lit pendant plusieurs jours, mais dont il se rétablit complètement, du moins physiquement. À l'âge de douze ans, lors du démembrement de l'Autriche-Hongrie le 28 octobre 1918, il devient de fait tchécoslovaque. À Brno, il est un brillant élève à l'école primaire, puis secondaire qu'il termine avec les honneurs en 1923. C'est à l'âge de quinze ans qu'il prend la ferme décision de se consacrer à la physique.

Études à Vienne

Bien que Gödel ait d'abord excellé en langues (dans sa jeunesse, il parlait et écrivait un français et un anglais parfaits), à l'âge de dix-huit ans, il rejoint son frère à l'université de Vienne pour y entamer des études de physique, qu'il abandonne assez rapidement. À cette époque, Philipp Furtwängler, un mathématicien allemand spécialisé en arithmétique supérieure, enseigne à Vienne, ses cours sont célèbres pour leur excellence et leur clarté. Le jeune Gödel demeure tellement marqué par les cours de Furtwängler qu'il abandonne ses études de physique pour se consacrer aux mathématiques. Nous savons très peu de choses sur la vie privée de Gödel pendant ses années d'études à Vienne. Il allait épouser une femme de dix ans son aînée, mais ses parents s'y opposent, et Kurt renonce à ce mariage. Apparemment, il consacrait le plus clair de son temps aux études. C'est cependant à l'université de Vienne qu'il rencontre à vingt ans celle qui deviendra — tardivement, soit onze ans après — sa femme, Adele Porkert.

C'est à cette époque qu'il adhère au réalisme mathématique. Il lit Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft (Premiers principes métaphysiques de la science de la nature) de Kant. En 1926, il est invité par Moritz Schlick, son ancien professeur en philosophie des sciences à l'université, à assister aux réunions hebdomadaires du Cercle de Vienne dont Hans Hahn (futur directeur de thèse de Gödel), Rudolf Carnap et Schlick lui-même étaient membres. Lors de ces réunions étaient abordés des sujets de mathématiques et notamment les solutions proposées par Russell, Brouwer et Hilbert au problème de la crise des fondements. C'est sans doute dans ce contexte que Gödel acquiert pour la première fois sa profonde connaissance du programme formaliste. Il assiste aux réunions avec assiduité jusqu'en 1928, uniquement en tant qu'auditeur. Après avoir participé au Cercle de Vienne, Gödel décide, en 1928, de se consacrer définitivement à la logique mathématique (intérêt qu'il développe à la suite d'un séminaire de Schlick). Il assiste à une conférence de David Hilbert à Bologne sur la complétude et la cohérence des systèmes mathématiques.

Durant l'année 1929, il achève sa thèse de doctorat portant sur un problème lié au programme de Hilbert et la soumet, le 6 février 1930, à l'université de Vienne. Il la présente sous forme d'article la même année. Ce travail, qui constitue sa première publication scientifique, figure dans le numéro 37 (1930) de la revue Monatshefte für Mathematik und Physik sous le titre La complétude des axiomes du calcul logique de premier ordre. Toujours en 1929, Gödel devient citoyen autrichien. Puis, en 1932, il obtient son diplôme à l'université de Vienne.

La publication de son premier théorème d'incomplétude, en 1931, fait de Gödel une célébrité internationale dans le monde des mathématiques. Son nom commence à être cité dans tous les forums et congrès, et sa démonstration devient — et reste encore aujourd'hui — un classique du raisonnement mathématique. Il ne peut profiter immédiatement de sa célébrité méritée, car, une fois son article terminé, il connaît de graves troubles nerveux pendant plusieurs mois, conséquence indéniable du stress engendré par la présentation de son théorème.

Quant au second théorème d'incomplétude, l'article de 1931 ne fournit que les grandes lignes du déroulement de sa démonstration, Gödel proposant de le démontrer dans une seconde partie de l'article. Cependant, ses troubles nerveux l'empêchent de le rédiger dans les mois qui suivent et, lorsqu'il est enfin remis, il se rend compte que les démonstrations de ses deux théorèmes — y compris celle du second simplement évoquée — sont si bien acceptées que toute clarification ultérieure serait inutile.

Après avoir surmonté ses troubles nerveux, il devient en 1933 Privatdozent (maître de conférences) de l'université de Vienne.

Il est invité la même année à donner une conférence lors de la réunion annuelle de l’American Mathematical Society. Lors de ce premier voyage, il fait la connaissance d'Albert Einstein qui avait émigré aux États-Unis en 1932. Entre eux naît une amitié qui durera jusqu'au décès d'Einstein en 1955. Au cours des deux années suivantes, 1934 et 1935, il se rend à nouveau aux États-Unis où il est invité à deux reprises par l'Institut d'Études avancées de Princeton. Il y donne plusieurs cours et conférences sur ses deux théorèmes d'incomplétude ainsi que sur d'autres thèmes — qu'il avait abordés lors de recherches ultérieures —, dont la calculabilité et les fonctions récursives ; en particulier, il donne une conférence sur les fonctions récursives générales et sur le concept de vérité. Au cours de ses voyages aux États-Unis, Gödel expose ses méthodes, ses idées, les problèmes auxquels il réfléchit et cela stimule l'école américaine de logique mathématique ainsi que la logique mathématique en général.

Cependant, le 22 juin 1936, a lieu l'assassinat, par Johann Nelböck, un jeune étudiant mentalement dérangé, de Moritz Schlick ; ce crime affecte particulièrement Gödel qui traverse sa première dépression. Il retourne à Princeton au cours de la même année. Les voyages et ses travaux l'épuisent, si bien qu'il consacre la plus grande partie de l'année suivante à soigner une nouvelle dépression. Il revient à l'enseignement en 1937, période durant laquelle il travaille à la démonstration de la cohérence relative et de l'indépendance de l'hypothèse du continu. Il achoppe à démontrer l'indépendance (ce qui ne sera fait qu'en 1963, par Paul Cohen), mais il réussit à établir que l'hypothèse du continu ne peut pas être réfutée à partir des axiomes de la théorie des ensembles.