Kurt Gödel

Kurt Friedrich Gödel ([ˈkʊʁt ˈɡøːdəl]; Brünn, Imperio austrohúngaro, actual República Checa, 28 de abril de 1906-Princeton, Estados Unidos; 14 de enero de 1978), conocido como Kurt Gödel, fue un lógico, matemático y filósofo austríaco.​

Se le considera uno de los lógicos más importantes de todos los tiempos. Su trabajo ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Al igual que otros pensadores —como Gottlob Frege, Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert—, Gödel intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática.

Se le conoce sobre todo por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena. El más célebre establece que para todo sistema axiomático recursivo autoconsistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (la aritmética de Peano), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema, desarrolló una técnica denominada ahora numeración de Gödel, que codifica expresiones formales como números naturales.

También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes. Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal.

Vida

Infancia

Kurt Friedrich Gödel nació el 28 de abril de 1906 en Brünn, la capital de la Moravia austrohúngara (actualmente Brno, República Checa) en una familia acomodada de etnia germana. Su padre, Rudolf August Gödel, era un hombre de negocios y administrador de una fábrica de textiles. Su madre, Marianne Gödel (nacida Handschuh), una mujer educada y culta, que permaneció cercana a Gödel durante toda su vida, tal como puede observarse en la extensa correspondencia entre ambos.​ En el momento de su nacimiento, la mayoría de la población de su ciudad era de habla alemana​ y este era el idioma de sus padres.​

Gödel, que hablaba muy poco el checo, se convirtió automáticamente en checoslovaco a la edad de 12 años, tras la caída del Imperio austrohúngaro al final de la Primera Guerra Mundial. Posteriormente le contó a su biógrafo John W. Dawson que durante ese tiempo se sentía como un «exiliado austríaco en Checoslovaquia» (ein Österreicher im Exil in der Tschechoslowakei). Decidió convertirse en ciudadano austríaco a los 23 años. Cuando la Alemania nazi anexionó Austria, Gödel se convirtió automáticamente en ciudadano alemán, a los 32 años. Después de la Segunda Guerra Mundial, a los 42 años, se convirtió en ciudadano estadounidense.

Su familia llamaba al joven Kurt Herr Warum (Sr. Por qué), debido a su insaciable curiosidad. La única excepción a una infancia sin incidentes fue que a partir de los cuatro años sufrió quebrantos de salud y fiebres reumáticas. Se recuperó completamente, pero toda su vida quedó convencido de que su corazón había sufrido un daño permanente.

Asistió a la escuela primaria y secundaria en idioma alemán en Brno, de la que se graduó con honores en 1923 y sobresalió en matemáticas, idiomas y religión. En el transcurso de su adolescencia estudió, entre otras materias, la Teoría de los colores de Goethe, críticas de Isaac Newton y la obra de Immanuel Kant.

Estudios en Viena

A los 18 años, Kurt se reunió con su hermano mayor Rudolf (nacido en 1902) e ingresó en la Universidad de Viena. Entonces ya dominaba las matemáticas a nivel universitario. Aunque al principio pretendió estudiar física teórica, también asistió a cursos de filosofía impartidos por Heinrich Gomperz y de matemáticas. Durante este período adoptó ideas del empirismo matemático, leyó los Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft (Fundamentos metafísicos de la ciencia natural) de Kant. Aunque él mismo no fue un positivista lógico, participó en reuniones del Círculo de Viena con Moritz Schlick, Hans Hahn y Rudolf Carnap, siendo estos dos últimos de quienes aprendió lógica. Después estudió también la teoría de los números. Asistió a un seminario dirigido por Schlick, en que se estudiaba el libro Introducción a la lógica matemática de Bertrand Russell, lo que le motivó a interesarse por la lógica matemática.

Su asistencia a una conferencia de Hilbert sobre la completud y la consistencia de los sistemas matemáticos pudo decidir el curso de su vida. En 1928, Hilbert y Wilhelm Ackermann publicaron los Grundzüge der theoretischen Logik (Principios de lógica teórica), una introducción a la lógica de primer orden en la cual se planteaba el problema de la completitud: «¿Son suficientes los axiomas de un sistema formal para derivar cada una de las proposiciones verdaderas en todos los modelos del sistema?». Este fue el tema elegido por Gödel para su disertación doctoral. En 1929, a los 23 años, completó su disertación bajo la supervisión de Hans Hahn, en la cual Gödel estableció la completud del cálculo de predicados de primer orden (este resultado se conoce ahora como el teorema de completitud de Gödel). El doctorado se le concedió en 1930. Su tesis, junto a trabajo adicional, fue publicada por la Academia de Ciencias de Viena.​

Obra en Viena

En 1931 Gödel publicó sus célebres teoremas de la incompletud en Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados). En dicho artículo demostró que para todo sistema axiomático computable que sea lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (p. ej. los axiomas de Peano (o ZFC), entonces:

1. Si el sistema es coherente no puede ser completo. (A esto generalmente se le conoce como el teorema de la incompletitud).
2. La consistencia de los axiomas no puede demostrarse en el interior del sistema.

Estos teoremas finalizaron medio siglo de intentos académicos (comenzando con el trabajo de Frege y culminando en los Principia Mathematica y en el formalismo de Hilbert) por encontrar un conjunto de axiomas suficiente para toda la matemática. El teorema de la incompletud implica también que no toda la matemática es computable.

La idea básica del teorema de la incompletud es bastante simple. Esencialmente, Gödel construyó una fórmula que asegura ser no-demostrable para cierto sistema formal. Si fuera demostrable sería falsa, lo cual contradice el hecho de que en un sistema consistente las proposiciones demostrables son siempre verdaderas. De modo que siempre habrá por lo menos una proposición verdadera pero no demostrable. Esto es, para todo conjunto de axiomas de la aritmética construible por el hombre existe una fórmula que se obtiene de la aritmética pero es indemostrable en ese sistema. Sin embargo, para precisar esto Gödel necesitaba resolver varias cuestiones técnicas, tales como proposiciones de codificación y el concepto mismo de demostrabilidad en la teoría de los números naturales. Esto último lo realizó mediante un proceso denominado numeración de Gödel.

En su ensayo de dos páginas Zum intuitionistischen Aussagenkalkül (1932) Gödel refutó la “valuabilidad” finita de la lógica intuicionista. En la demostración empleó implícitamente lo que después se conoció como la lógica intermedia de Gödel–Dummett (o Gödel fuzzy logic).

Gödel recibió su habilitación en la Universidad de Viena en 1932, y en 1933 se convirtió en Privatdozent (permiso para enseñar y examinar de forma independiente en la universidad). La ascensión de Hitler en Alemania en 1933 afectó poco a Gödel en Viena, ya que tenía poco interés en la política. Sin embargo, en 1936 se vio muy afectado por el asesinato de Moritz Schlick (cuyo seminario había despertado su interés por la lógica) a manos del estudiante Hans Nelböck, quien declaró que mató a Schlick «por difundir ideas antimetafísicas que minan la moral y la cohesión de la vida».​ Este incidente le provocó un colapso nervioso y su primera crisis de paranoia. Dos años después, tras el Anschluss, el asesino fue liberado y se declaró nazi.​

Visitas a los Estados Unidos

En 1933, Gödel viajó por primera vez a los Estados Unidos donde conoció a Albert Einstein, con quien estrechó lazos de amistad. Presentó una conferencia en la reunión anual de la Sociedad Norteamericana de Matemáticas. En el transcurso de ese año, Gödel también desarrolló ideas sobre la computabilidad y la función recursiva, e impartió una conferencia sobre dichas funciones y sobre el concepto de verdad. Posteriormente, este trabajo se desarrolló en la teoría de los números, empleando la numeración de Gödel.

En 1934, Gödel impartió una serie de conferencias en el Instituto de Estudios Avanzados (IEA) en Princeton, titulada Sobre las proposiciones indecidibles de los sistemas matemáticos formales. Stephen Kleene, quien acababa de finalizar su doctorado en Princeton, tomó notas de esta conferencia, que se publicaron posteriormente.